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论Arrow不可能性定理

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发表于 2018-12-23 06:30:26 | 显示全部楼层 |阅读模式
论Arrow不可能性定理



今天早上布尔费墨贴了一篇《Arrow不可能性定理:独裁是唯一完美的选举制度》。
这是从学术上证明,“自洽”的民主制度是不可能存在的。

但是那篇逻辑文章实在很是晦涩。布尔费墨也解得不对。
我先把全文贴在下面。然后说我的解释。


Arrow不可能性定理:独裁是唯一完美的选举制度

2015-08-06  Matrix67 哲学园

由于某些原因,最近在整理以前的日志。偶然翻到这篇日志时,顺便在 Wikipedia 复习了一下 Arrow 不可能性定理的证明,惊奇地发现这个定理的证明过程非常困难但又非常初等,是一个门槛很低、老少咸宜的思维游戏。虽然不少人都翻译过 Wikipedia 上的这段证明,但我也想自己写一个自己的理解,一来做个笔记,二来也锻炼一下自己的表达能力。

Arrow 不可能性定理是一个与选举制度有关的定理。选举制度,说穿了就是把所有选民的意见综合成一个全体意见的算法。选民的意见,无非是候选对象在心目中谁优谁劣,完整地反应在选票上,就是候选对象们从优到劣的一个顺序;形式最完整的全体意见,也就是候选对象的这么一个排列。因此,我们可以把整个选举制度想像成一个函数,输入 n 个排列(相当于 n 张选票),将会输出一个排列(相当于选举结果)。对输入数据的任何一处小改变,都有可能导致输出结果随之变化。作为一个合理的选举制度,它必须满足一些起码的要求。我们提出两个最基本的选举制度要求:
1. 如果每张选票都认为 X 比 Y 好,那么投票结果中 X 的排名也必须比 Y 更靠前;
2. 如果每张选票中 X 、 Y 的相对排名都不改变,那么投票结果中 X 和 Y 谁先谁后也不能变。

我们将证明,同时满足上述两个条件的选举制度只有一种,就是选举结果唯一地由其中某个选民的选票决定。也就是说,独裁是唯一一种完美的选举制度。为了简便起见,让我们假设候选人只有 A 、 B 、 C 三个人。你会发现,下面的证明过程很容易扩展到多个人的情况。
假设每张选票都把 B 放在最后一名。也就是说,每张选票都认为, A 比 B 好, C 也比 B 好。根据条件 1 ,最终投票结果中也应该满足, A 和 C 都排在 B 前面。也就是说,投票结果里 B 也是最后一名。现在,让我们按照一定的顺序依次把每张选票里的 B 从最后一名挪到第一名的位置上去,同时不断关注在改票过程中选举结果的变化。当所有的票都改完了后,根据同样的道理,投票结果中 B 自然就排到了第一名。因此,在改票的过程中,一定存在这么一个人,改完他的选票后,投票结果中 B 的名次靠前了(从最后一名升了上来)。我们把这张选票叫做“枢纽选票”。

接下来的证明分成四个大步骤。我们第一步要证明的就是,在改票过程中,改完这张枢纽选票,投票结果中 B 的名次将会直接从最后一名一下子升到第一名。反证,假如此时 B 没有跑到投票结果的第一名去,那么投票结果要么是 A 、 B 、 C ,要么是 C 、 B 、 A 。不妨假设是 A 、 B 、 C 吧。现在,把每张选票中 C 的名次都改到 A 前面( C 本来就在 A 前面的那些选票就不用改了)。按照条件 1 ,最后的结果里 C 也应该跑到 A 的前面去。但同时,由于此时每张选票都把 B 列于第一名或者最后一名,调整 A 和 C 的顺序不可能影响到 B 、 A 之间的相对顺序,以及 B 、 C 之间的相对顺序,因此由条件 2 ,结果里 B 、 A 的相对排名和 B 、 C 的相对排名是不能变的。这就矛盾了:我们绝不可能在不改变 B 、 A 的相对位置以及 B 、 C 的相对位置的情况下,把投票结果 A 、 B 、 C 里 A 和 C 的位置互换。因此,把那张枢纽选票中的 B 提到第一名,一定让投票结果中的 B 也直接跑到了第一名去。

注意,枢纽选票的产生是有前提的:它要从某个满足“每张选票里 B 都排最后”的情形开始,再按照一定的顺序把选票里的 B 都改成第一名,在此过程中才能产生对应的枢纽选票。如果具体的初始情形不一样,枢纽选票还一样吗?答案是肯定的。在第二步,我们要证明的就是,只要满足每张选票都把 B 放在最后一名(不管选票的具体内容是什么),并且按照同样的顺序进行改票,枢纽选票总会是同一张。
这个原因很简单,关键就在于,我们总是把每张选票里的 B 从最后一名提到第一名。即使换一个不一样的初始情形,在改票过程的每一个时刻,每张选票里 B 和 A 、 B 和 C 之间的相对排名也都和原来一样,因而投票结果中 B 和 A 、 B 和 C 之间的相对排名也和原来一样。因此,投票结果里 B 的位置仍然会在同一个时候发生变化,枢纽选票还是同一张。

在第三步里,我们要证明的是,这张枢纽选票有一个非常牛的性质:在任何情形下,它都能独裁 A 、 C 之间的相对排名。也就是说,这张枢纽选票认为 A 比 C 好,投票结果里 A 就一定比 C 好;反过来,它说 C 比 A 好,投票结果里 C 就比 A 好;并且此性质不依赖于任何前提条件,即使 B 不在各选票中的特殊位置,结论同样也成立。现在,我们就考虑任意一组选票,无妨假设其中枢纽选票里 A 比 C 靠前,我们将证明投票结果中 A 也是排在 C 前面的。证明的思路是,对各选票进行一系列不涉及 A 、 C 间相对排名的修改,从而看出投票结果里 A 在 C 前面。我们先把所有选票中的 B 都排到最后一位去,注意,这一步不会改变投票结果中 A 、 C 的先后顺序,但却让前面的结论得以适用。然后,我们把枢纽选票之前的所有票里 B 的位置都挪到最前面,由前面的结论,结果中的 B 仍然处于最后一位(因而 A 位于 B 前面)。接下来,我们把枢纽选票(它应该是 A 、 C 、 B 的顺序)改成 A 、 B 、 C ,由于这张票中 A 、 B 的相对位置没变,因此结果中 A 、 B 的相对位置也没变, A 仍然在 B 前面。接下来,我们把枢纽选票改成 B 、 A 、 C ,由前面的结论,此时结果里的 B 跑到了最前面(因而排到了 C 前面),但把枢纽选票从 A 、 B 、 C 改成 B 、 A 、 C 时并没有改变 B 和 C 的相对位置,因此刚才的投票结果中 B 也应该在 C 的前面。也就是说,枢纽选票是 A 、 B 、 C 时,投票结果里 A 在 B 前, B 在 C 前,也就是说 A 排在 C 前面。但上述所有修改都不会改变任何一张选票里 A 、 C 的相对排名,因此投票结果中 A 其实自始至终都在 C 前面。这就证明了,投票结果里 A 、 C 的相对排名完全取决于这张枢纽选票,不管其它选票是什么样的。

最后一步证明就是,这张选票不但独裁了 A 、 C 的相对排名,它直接独裁了所有人的排名。原因很简单:按照之前的推理,还会有一张独裁 A 、 B 相对排名的选票,另外还有一张独裁 B 、 C 相对排名的选票;但一山不容二虎,这三个独裁者只能是同一个人,否则一个人说左一个人说右,就会立即产生矛盾。具体地说,首先,这三个独裁者肯定不可能是三个不同的人,否则 A 、 B 的独裁者说 A 比 B 好, B 、 C 的独裁者说 B 比 C 好, A 、 C 的独裁者说 C 比 A 好,投票结果就得同时满足 A 在 B 前、 B 在 C 前、 C 在 A 前,这是不可能的。这三个独裁者也不可能是两个人。比方说其中一人同时独裁了 A 、 B 和 A 、 C ,另一人则只独裁 B 、 C ,那么如果前者说 B 在 A 前面, A 在 C 前面,后者又说 C 在 B 前面,同样不会有兼顾两者的投票结果。因此,独裁者只能有一个,它就是填写枢纽选票的那个人。

至此,我们就证明了,满足那两个基本条件的选举制度只有一种——独裁制度。
上述结论有另外一种等价的表述方法:同时满足全体一致性、无关候选人独立性(就是那两个基本条件)以及非独裁性这三个条件的选举制度理论上是不存在的。这就是美国经济学家 Kenneth Arrow 提出的 Arrow 不可能性定理:不存在完美的选举制度。



文章很长。但是和我们的直觉不符。
文章说,ABC三个人,无法通过选票确定优劣。但我们知道的是,如果市面上有三种洗发水。
1000个消费者走进Walmart超市,半小时以后出来。他们是有明显的胜负的。消费者通过用手里的钞票投票,是可以明显地看出市场占有份额No.1,2,3

那么,诡辩的逻辑漏洞是哪段呢。
是这段:
现在,把每张选票中 C 的名次都改到 A 前面( C 本来就在 A 前面的那些选票就不用改了)。按照条件 1 ,最后的结果里 C 也应该跑到 A 的前面去。但同时,由于此时每张选票都把 B 列于第一名或者最后一名,调整 A 和 C 的顺序不可能影响到 B 、 A 之间的相对顺序,以及 B 、 C 之间的相对顺序,


他这里偷换了一个概念。即“选举的胜组”。

选举怎样才可以胜利?一般而言,常见至少有二种方法。
一种是“排序打分法”。
譬如一张选票上填着J,K,A,D,F。则第一名J先生得9分,第二名K得7分。第三名5分,3分,1分。

这样的话,把N张选票叠加。就可以得出A-Z几十个候选人的总得分。
这样的选举,比较适合基层党组选举。可以一次性选十几个人,而且评分比较具有综合性。


另一种是“首位选举法”。也就是只统计第一名。
譬如这张J,K,A,D,F。我们只说J先生获得了一票。后面的老二老三不统计。
N张选票累加,就可以知道奥巴马拿了几票,麦凯恩拿了几票。
这样的选举,适合于选总统。


回到“Arrow不可能定理”,对于这二种选举方法,他说的“A和C互换,不影响B的排名”这句话都不成立。
所以他在诡辩。

那么,Arrow他其实说的是什么呢。他说的是另外一种选举方法。
方法三:“如果A>B,要比B>A的次数多。那么最后全国总排名,A应该在B前面”。

问题是,这句话听上去很有正义感,可是实际上却是不可行的。
请看下图:

在这十张选票里面。C在A前面四次,A在C前面六次。所以Arrow断定A>C

可是,同样道理,我们也可以得出:
A > C
C > B
B > A

那么,在“全国总排名”中,这事是没法排的。陷入了循环论证。所以全世界没有一个国家是采用“选举规则三”,我拍在你前面总分就一定在你前面的。

这也是民主理论学上著名的“不可最佳论”。
意思就是,民主选举,若最终是二个人的对决。譬如竞选美国总统。
在“二个人的对决”中,往往会出现A能赢B,B能赢C,C能赢A的怪圈。


那么派谁上场,用怎样的竞争策略。就有很大的关系。任何一个人退出,都将影响到选举结果:

(B退出竞选后,A反败为胜成为冠军)

那么,美国总统的结果,究竟是由三万万选民决定,还是由B一个人决定的呢?这就失去了大义的名分。

理论界对此的维护,和我之前“论儒·法·禅宗·自治和道教”那篇说的一样。

理论界堂而皇之地回答,谁决定的不重要。选出来的总统是否最优秀的,也不重要。只要全体国民同意,这样选总统是“无可争议”的即可。

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